Una de lagrangianos

Hoy nos vamos a estrenar con una crítica a un vídeo de uno de los youtubers más conocidos en el mundo de la divulgación científica en español:  Javier Santaolalla, cuyo canal de youtube Date un Vlog suma casi un cuarto de millón de suscriptores.

El vídeo en cuestión se titula ¿Qué significa la ecuación de la camiseta? 
en referencia a la camiseta que lleva y que es un modelo que se vende en la tienda de recuerdos (ahora lo llaman merchandising, después de haberlo llamado souvenirs) del CERN, el Laboratorio Europeo de Física de Partículas.

Llegados al minuto 1:05 (a partir de ahora, los números en negrita se vana referir al  minuto del vídeo al que se refiere la transcripción en cursiva), nos dicen:

1:05 Bien, ¿quieres saber qué significa esta ecuación que tengo aquí?  respuesta corta:
 es el lagrangiano del modelo estándar

[...]

Pero yo sé que  a ti eso no te vale. Tú quieres la marcha de verdad, tú quieres el heavy metal,
tú  quieres saber realmente qué significa esta ecuación, ¿verdad? Pues eso es justo lo que voy a contar en este vídeo y la respuesta es: para lo mismo que sirve toda la física [...]

Sí, efectivamente es lo que se conoce como  lagrangiano del modelo estándar de las partículas e interacciones elementales. La verdad es que no se trata de una ecuación en la que, por definición, se igualan dos cosas que sólo son iguales para ciertos valores de las incógnitas o parámetros, sino más bien de una definición, una identidad, pero no vamos a ponernos demasiado finos con estos puntos que se explican en secundaria.

Se nos promete que, de verdad, se nos va a explicar el significado profundo del lagrangiano, empezando por lo que se entiende por lagrangiano.

El formalismo lagrangiano se estudia en el grado de CC.  Físicas en segundo. Es una herramienta fundamental en mecánica, pero su uso se extiende hasta las Teorías Cuánticas de Campos.

Vemos lo que se nos dice:

3:14 Hay un problema con las leyes de Newton, y es que éstas trabajan con fuerzas, y las fuerzas no son invariantes relativistas, no son adecuadas para trabajar con relatividad. Es decir, como todos ya saben, no todos los observadores ven las mismas fuerzas, y esto hace que sea un lío.

Que en las ecuaciones de Newton aparecen fuerzas, es una evidencia. Que éstas no son invariantes relativistas es harina de otro costal. Pero empecemos por la última frase:  

"[...] no todos los observadores ven las mismas fuerzas y esto hace que sea un lío."

Como se estudia en secundaria, las fuerzas son vectores y los vectores son diferentes para diferentes observadores incluso en la teoría de Newton. Los vectores se caracterizan por un módulo, una dirección y un sentido, y la dirección cambia cuando los ejes de coordenadas de un observador están rotados con respecto a otro. El sentido también cambia por razones análogas. ¿Es esto un problema? Ciertamente no. Las ecuaciones de Newton no son invariantes, pero sí son covariantes frente a rotaciones porque todos sus términos cambian de la misma forma bajo estas transformaciones. Todo es claro y consistente. No un lío.


Hay más transformaciones bajos las que las ecuaciones de Newton son covariantes. Pero, si hablamos de relatividad especial, nos fijamos en las transformaciones que relacionan a observadores que se mueven con velocidades constantes y diferentes entre si. Y aunque las ecuaciones de Newton no se comportant bien, es posible modificarlas para que sean también covariantes con respecto a ellas, y no haya "líos". Las fuerzas siguen ahí, en esas ecuaciones, y siguen siendo vectores, aunque un poco más complicados, y es posible saber sin ningún tipo de confusión, cómo los ve cada observador.

Si hablamos de interacciones fundamentales, la llamada "fuerza de Lorentz" del electromagnetismo se comporta perfectamente bien en relatividad especial, y ésta es, precisamente, una de las pistas que condujeron a la relatividad especial, pues esta propiedad se conocía ya antes d eque Einstein publicara dicha teoría en 1905.


De momento, todo funciona sin necesidad de lagrangianos. Sin embargo, se nos dice a continuación:

Y es aquí donde aparece el genio de "J.L.". Joseph Louis Lagrange,  claro. ¿Te habías pensado que era el otro? ¿Te llevaste un susto? Lagrange consiguió reformular las leyes de Newton utilizando el concepto de energía. Contruyó una magnitud, el lagrangiano, que para cualquier problema, operado de forma adecuada, nos lleva a las mismas ecuaciones que las leyes de Newton. 
Es equivalente, lo mismo.  Entonces, ¿qué pinta? Pues porque la física moderna encontró una aplicación de las  ecuaciones de Lagrange, y es que éstas sí que son compatibles con la relatividad. Son invariantes relativistas.

Y esto es muy sorprendente: salen las mismas ecuaciones, es quivalente, lo mismo. Pero ¿unas no son compatibles con la relatividad y las otras sí?

 Como hemos explicado más arriba, en realidad las leyes de Newton se pueden adaptar a la relatividad especial. Y el formalismo lagrangiano vale para un caso y para el otro. En cierto sentido, es innecesario por completo. Pero tiene muchas ventajas técnicas como la de economía (una función en vez de muchas ecuaciones) ,  el poder utilizar variables diferentes a las coordenadas cartesianas (esencial para resolver muchos problemas), y que permite formular (las ecuaciones de movimiento de) teorías con propiedades de simetría com la invariancia relativista, de manera muy sencilla y sistemática.


(Paréntesis técnico 2: para obtener las ecuaciones de movimiento a través del lagrangiano sólo hay que construir la magnitud lagrangiana como T-V, donde T es la energía cinética y V la energía potencial. Derivando según las ecuaciones de Lagrange, parcial de L con respecto a q es igual a derivada al tiempo de parcial de L con respecto a q punto, obtenemos las leyes de movimiento. Esto es consecuencia del Principio de mínima acción, una cosa que les recomiendo que miren porque es una maravilla. 
Fin del paréntesis técnico 2)

Poco que decir de este paréntesis técnico... Si, para empezar, no nos dicen que es "q" ni "q punto"... poco le va a aprovechar al espectador (o como se llame al que ve vídeos de youtube).

Y ahora saltamos a

8:11 En esta ecuación de aquí está comprimido el conocimiento de toda la Humanidad durante más de 2000 años. Desarrollos de mentes tan privilegiadas como Newton, Einstein, Dirac, Fermi, y otros menos conocidos como Gilbert [sic], Goldstone. Y todo esto cabiendo en sólo una camiseta.

La Humanidad sabe algunsa cosas más, claro. Incluso de física. Por ejemplo, sobre la gravedad, que no está contenida en esa "ecuación". Pero podemos dar por válida la exageración en un sentido metafórico y poético.

Eso sí: nos gustaría saber quién es el famoso Gilbert...